vasárnap, december 04, 2016

A körpakolást angolul sphere packingnek hívják, a sphere pedig gömböt jelent, de a lényeg minden értelmezés szerint ugyanaz: n dimenziós köröket kell adott területen belül optimálisan elhelyezni. A lényeg, hogy az objektumok a lehető legsűrűbben töltsék ki a rendelkezésre álló teret; eközben érinthetik, de nem fedhetik egymást. A sűrűséget ebben az esetben aszerint definiálják, hogy a körök a tér hány százalékát töltik ki.

A körpakolást, mint matematikai problémát, az teszi igazán izgalmassá, hogy az optimális megoldást pofonegyszerű a háromdimenziós gyakorlatba ültetni, de az elméletével évszázadok óta birkóznak a matematikusok. Egy 24 éves ukrán matematikus, Maryna Viazovska magasabb dimenziókban is megoldást talált a problémára.

Ágyúgolyó futam

A gyakorlati részt mindenki ismeri, aki látott már gúlába halmozott narancsokat. A zöldségesek is tudják, hogy ez az optimális elrendezés; ha így rendezzük el a gömböket, azok a rendelkezésre álló tér körülbelül 74 százalékát kitöltik. Ezt az alakzatot a dietetikusok vitaminbombának hívják, a matematikusok lapcentrált kockarácsnak

A felfedezésnek gyakorlati haszna is van. Fotó: Wikipedia
A csillagászati megfigyeléseiről híres Johannes Kepler 1611-ben fogalmazta meg a sejtését, miszerint ennél optimálisabb elhelyezési forma nem létezik. Kepler levelezést folytatott egy bizonyos Thomas Harriottal, aki nem narancsokat, hanem ágyúgolyókat akart egy adott térfogatú helyen tárolni. Kepler sejtése szerint a gúlába pakolt gömbök adják az optimális elrendezést, és semmilyen más elrendezés sűrűségi határértéke nem lehet szigorúan nagyobb 74 százaléknál.
Kepler sejtését sokáig nem sikerült bizonyítani. Thomas Hales 1998-ban készült el a saját bizonyításával; a tanulmányt 2005-ben publikálta. Akkor már léteztek azok a szuperszámítógépek, amik könnyedén elvégezhették a szükséges számításokat és bizonyíthatták a sejtéseket.
Ha kipróbálunk néhány elrendezést, érthetetlennek tűnik, miért kéne egy ilyen triviális állítást bizonyítani. Pedig – ahogy Bodnár József írja a Kepler narancsai c. tanulmányban – lokálisan elképzelhető a narancsgúlánál sűrűbb elrendezés. Néhány gömb még elhelyezhető úgy, hogy a köréjük rajzolt téridomnak több mint 74 százalékát tegyék ki, de az nem nyilvánvaló, hogy miért romlik el minden ilyen, sűrűbben induló elrendeződés. Ha ugyanis ezekhez egyre több gömböt rakunk, a téridomban elfoglalt területük – vagyis a sűrűség – mindig kevesebb lesz 74 százaléknál.
Hales megoldása viszont annyira komplex, hogy az ellenőrzéssel megbízott szakértők is csak annyit mernek kijelenteni, hogy 99 százalékig megbízható. A lépésenként rekonstruált bizonyítás akkora erőforrást igényelne, hogy senki nem vállalkozik rá. Főleg, ha a problémát nemcsak három, hanem nyolc vagy akár huszonnégy dimenzióban szeretnénk vizsgálni.
24 dimenzióban még a narancs is más
Az elméleti matematikában gyakorlatilag minden lehet új dimenzió. A körpakolási problémáknak van olyan felvetése, ami a nemeuklideszi geometriában vizsgálja a kérdést; ilyenkor már a sűrűség fogalma is megváltozik. A gömbnek mint alakzatnak a magasabb dimenziókban is ugyanaz a definíciója: egy csomó pont egy magasabb dimenziós térben, amik fix távolságra vannak egy adott középponttól.
Nem véletlenül említettük a nyolcadik és a huszonnegyedik dimenziót. A nyolcadik dimenzióba lépve (E8) a probléma vizsgálata hajmeresztővé válik: a teljes megértéséhez több matematikai részterület megértése szükséges. Az E8 egyszerre számelmélet, kombinatorika, hiperbolikus geometria, és nem árt ismerni a húrelméletet is.
Fotó: Wikipedia
Képzeljük el, hogy a narancsokat nemcsak három dimenzióban pakoljuk egymásra! Minél több dimenziót vonunk be a képletbe, annál nagyobb lesz a gömbök közötti tér. A nyolcadik dimenzióban a gömbök közti terek elég nagyok lesznek ahhoz, hogy új gömböket lehessen közéjük illeszteni. Ez az egyetlen dimenzió, ahol az új gömbök pontosan passzolnak a hézagokba.
Jöjjön a neheze: a huszonnegyedik dimenzió. A huszonnégy dimenziós körpakoláshoz kapcsolódik a Leech-rács fogalma, amit John Leech brit matematikusról neveztek el. Leech 1964-ben publikálta a témával kapcsolatos tanulmányát. Hogy ez mennyit bonyolít az alapproblémán, azt jól szemlélteti, hogy kétdimenziós elrendezésben minden kört hat másik kör vehet körbe. A Leech-rácsban minden egyes gömbre 196 560 szomszédos gömb jut. (Ennek a gyakorlati bizonyítása azért lehetetlen, mert sem a huszonnegyedik dimenziót, sem a szükséges narancsmennyiséget nem tudnánk biztosítani a kísérlethez.)
A március 14-én publikált új tanulmányban a Berlin Mathematical School kutatója, Maryna Viazovska felfedezte a nyolcadik dimenzióhoz szükséges hiányzó lépést. A bizonyításához felhasználta a moduláris formákkal kapcsolatos elméleteket; a megfelelő moduláris forma alkalmazásával mindössze 23 oldalon sikerült bebizonyítania, hogy mi az E8 optimális körpakolási formája. Viazovska bizonyítását felhasználva John Cohn matematikus és három másik szakember sikerrel alkalmazták a metódust a Leech-rácsra is – a bizonyítással alig egy hét alatt végeztek.
Ettől lesz olcsóbb a narancs?
Nem.
A körpakolás, bár izgalmas matematikaelméleti játék (és mint a bizonyításával kapcsolatos több évszázados kínlódás mutatja, elég fárasztó is), gyakorlati haszna is van. Akár a csomagolástechnikában, akár új mobilkommunikációs adótornyok telepítéséről van szó, az optimális elrendezéssel kapcsolatos elméleteket a mindennapokban is hasznosíthatjuk.
A nyolcadik és huszonnegyedik dimenzióra ez már nem érvényes, de mivel az E8 és a Leech-rács a matematika és fizika számos területét érinti, Viazovska új megközelítése további felfedezésekhez vezethet. Kérdés, hogy azt ki fogja felfedezni, ki tudja majd bebizonyítani, ki veszi majd a fáradságot az ellenőrzésére, és kinek fogja tudni érthetően elmagyarázni.
Forrás: Index

Figyelem! A cikkhez hozzáfűzött hozzászólások nem a RoTaPress.us nézeteit tükrözik. A szerkesztőség mindössze a hírek publikációjával foglalkozik, a kommenteket nem tudja befolyásolni - azok az olvasók személyes véleményét tartalmazzák. Kérjük, kulturáltan, mások személyiségi jogainak és jó hírnevének tiszteletben tartásával kommenteljenek!

Kövess bennünket a Facebookon!